詳しい事実がわかりませんが、お子さんたちの親権者はあなた（母）だけれども、戸籍は元夫（父）のままなのですね。元夫が「戸籍の棄却」をするという意味がよくわかりませんが、原則として１５歳未満のお子さんの戸籍は、親権者であるあなたが家庭裁判所に「子の氏の変更許可」を申し立てない限り、勝手に動かせません。元夫はあなたにその手続きをするように要求しているのでしょうか。だとすると、確かに一方的な要求かもしれませんね。
　あなたは何もしなくていいのです。お子さんたちの戸籍が「無くなる」なんてことはありません。親権者のあなたに無断で勝手なことはできないはずです。何を言っても納得してくれない元夫を、説得しようとする必要はありません。あなたが「無言で抵抗」することも一つの戦い方です。服従しないこと。「不服従」の精神で、あなたは何もしないでいいのです。早く嵐が過ぎ去ることを祈ります。